Математики построили фигуру, которая всегда падает на одну сторону

Смысла в игральной кости, которая всегда падает одной и той же стороной вверх, вроде бы нет. Особенно, если это не тетраэдр, как мы привыкли, а треугольная пирамида. Оказывается, такая фигура может помочь в создании лунных посадочных модулей. Группа ученых из Венгрии и Канады создала то, что они называют первым в мире работающим моностабильным тетраэдром.

Разбираемся, зачем это нужно и почему на это потребовалось почти 60 лет.

Эта история началась летом 1966 года. Два британских математика — Джон Конвей (тот самый, который придумал игру “Жизнь”) и Ричард Гай — задали читателям журнала SIAM Review каверзный вопрос: можно ли доказать, что однородный тетраэдр любой формы должен быть устойчив как минимум на двух гранях?

Казалось бы, простая геометрическая задачка. Но за этим заданием скрывался другой вопрос: может ли однородный тетраэдр быть устойчив только на одной грани? Авторы предполагали, что нет, и просили это доказать.

Первый серьезный ответ пришел только через три года. Оказалось, что для однородного тетраэдра это действительно невозможно — он всегда будет устойчив минимум на двух гранях.

Но математики, которые приняли вызов всерьез, стали заниматься тетраэдрами внимательнее. Венгерский геометр Аладар Хеппеш показал, например, интересный и не известный раньше эффект, как однородный тетраэдр может опрокидываться через два своих ребра, после чего находит устойчивое положение.

А лет через 20 после публикации загадки Джон Конвей сказал одному из авторов вышедшего на днях исследования, что можно создать НЕоднородный тетраэдр такой формы, что он будет устойчив на одной грани (моностабилен).

Первые попытки: бамбук, свинец и изогнутые ребра
Математическое доказательство — это одно, а вот создать такую штуку в реальности оказалось совсем другой задачей. Один из авторов работы решил попробовать и построил модель из свинцовой фольги и мелко расщепленного бамбука. Модель, казалось, работала — она последовательно опрокидывалась с одной грани через две другие к своему финальному положению, где оставалась уже в покое.

Но была проблема. “Модель была странной: ребра изгибались под весом свинцового шарика” — пришут авторы исследования. И тут кроется принципиальный момент: если разрешить изгибать ребра, то создать моностабильный тетраэдр становится ну очень просто.

Представьте тетраэдр, ребра которого лежат на сфере. Если центр масс не совпадает с центром сферы, то такой тетраэдр будет моностабильным. Более того, это справедливо для любого многогранника. Но это читерство — задача требует прямых ребер.

Зачем нужны прямые ребра: от математики к лунным модулям
Может показаться, что требование прямых ребер — это просто математическая придирка. Но на самом деле это имеет глубокий практический смысл.

Для многих негладких объектов выпуклая оболочка — это многогранник с идеальными прямыми ребрами. Поэтому изучение балансировочных свойств неоднородных многогранников с прямыми ребрами — это реальная инженерная проблема.

И она стала снова крайне актуальной, например, в космоснавтике недавно, когда три лунных посадочных модуля опрокинулись при посадке.

Эти машины по сути и есть невыпуклые негладкие объекты, которые катятся по своим выпуклым оболочкам. То есть понимание того, как создать объект, который сможет самостоятельно выправлять свое положение на горизонтальной поверхности, может помочь в новых космических миссиях.

От теории к практике: как же создать “нечестный” тетраэдр
Между первыми попытками и рабочей моделью прошло несколько десятилетий. И вот команда математиков не только доказала, что моностабильный тетраэдр возможен, но и вычислила, как его построить.

Ключевая идея — “загружаемость” (loadable). Если тетраэдр можно нагрузить массой так, чтобы он стал моностабильным, его называют загружаемым. “Загружаемые тетраэдры характеризуются существованием тупого пути, состоящего из трех тупых ребер”, — пишут авторы.

Проще говоря, нужна особая геометрия — цепочка из трех ребер, где углы между гранями больше 90 градусов. Если такая цепочка есть, можно добиться разных “сценариев падения”. Одни тетраэдры падают по сценарию “Тип I”, другие — “Тип II”.

Так вот открытие случилось, когда авторы поняли, что зоны для размещения центра масс у сценариев типа I оказались в десятки раз больше, чем у типа II. Словом, у типа I больше “допуск на ошибку” — его проще воплотить в реальности.

Исследователи выбрали элегантное решение: тетраэдр из двух материалов — сверхлегкого и сверхтяжелого. Каркас сделали из углеродных трубочек (плотность 1,36 г/см³), а внутрь поместили кусок карбида вольфрама (14,15 г/см³) — материала плотнее свинца.

Расчеты показали, что если тяжелая часть в тысячу раз плотнее легкой, модель должна работать. С углеродом и вольфрамом соотношение получилось еще больше — больше десяти тысяч раз.

Результат оказался еще эффектнее. Получившийся тетраэдр действительно устойчив только на одной грани — грани D.

Если поставить его на любую другую грань, он обязательно скатится на грань D. Исследователи даже сняли замедленное видео этого “танца падения”.

Но есть ограничения. Сценарии Типа II оказались нереализуемыми, по словам исследователей. Для таких сценариев потребовались бы материалы плотностью 234 г/см³ — на порядок плотнее любого материала, известного на Земле. Это объясняет, почему ранняя модель из бамбука работала только с изогнутыми ребрами.

Физика поставила жесткие границы: не все теоретически возможные конфигурации можно воплотить с земными материалами. Но даже один работающий тип — это прорыв, который математики искали 60 лет.