Ученые разработали математические модели кристаллических дефектов

Кристаллы известны во всём мире своей красотой и элегантностью. Но несмотря на то, что снаружи они кажутся идеальными, их микроструктура может быть довольно сложной, что затрудняет их математическое моделирование.

Но есть люди, которые принимают этот вызов. В статье, опубликованной в Royal Society Open Science, исследователи из Университета Осаки использовали дифференциальную геометрию, чтобы дать точное, строгое и единое описание механики кристаллов и их дефектов.

В идеальном кристалле каждый атом расположен в соответствии с периодической структурой. Однако большинство кристаллов при ближайшем рассмотрении оказываются несовершенными. В их структуре есть небольшие дефекты: где-то отсутствует атом, где-то есть лишняя связь. Эти дефекты имеют важные механические последствия: например, они могут стать причиной разрушения или, напротив, использоваться для упрочнения материалов. Таким образом, понимание дефектов и связанных с ними явлений очень важно для исследователей.

«Дефекты могут принимать различные формы, — объясняет ведущий автор исследования Сюнсукэ Кобаяси. — Например, существуют так называемые дислокации, связанные с нарушением трансляционной симметрии, и дисклинации, связанные с нарушением вращательной симметрии. Учесть все эти виды дефектов в рамках единой математической теории непросто».

Действительно, предыдущие модели не могли объяснить различия между дислокациями и дисклинациями, что говорит о необходимости внесения изменений в теорию. Новые математические инструменты, использующие язык дифференциальной геометрии, оказались именно тем, что было нужно команде для решения этих проблем.

«Дифференциальная геометрия представляет собой очень элегантную систему для описания этих сложных явлений, — говорит Рюичи Таруми, старший автор исследования. — С помощью простых математических операций можно зафиксировать эти эффекты и сосредоточиться на сходствах между, казалось бы, совершенно разными дефектами».

Используя формализм многообразий Римана — Картана, исследовательская группа смогла описать топологические свойства дефектов и доказать взаимосвязь между дислокациями и дисклинациями. Ранее существовали только эмпирические наблюдения, а точные математические формы оставались загадкой. Кроме того, ученые смогли вывести аналитические выражения для полей напряжений, вызванных этими дефектами.

Команда надеется, что их геометрический подход к описанию механики кристаллов в конечном счёте вдохновит учёных и инженеров на создание материалов с определёнными свойствами за счёт использования дефектов, таких как дисклинации, которые упрочняют материалы. В то же время эти результаты являются ещё одним примером того, как красота математики может помочь нам понять красоту природы.

[Фото: Shunsuke Kobayashi, Katsumi Takemasa and Ryuichi Tarumi / University of Osaka]